ฟูเรียร์คอนโวลูชัน (Fourier Convolution)

ฟูเรียร์คอนโวลูชัน (Fourier Convolution)

การแปลงฟูเรียร์ (Fourier Transformation) [1] สำหรับภาพดิจิตอลเป็นวิธีการแปลงสัญญาณภาพไปอยู่อีกโดเมนหนึ่ง ซึ่งมีบทบาทสำคัญกับการนำไปใช้ในงานการวิเคราะห์ภาพ (Analysis) การปรับปรุงภาพ (Enhancement) การสร้างภาพใหม่ (Restoration) และการบีบอัดภาพ (Compression) โดยการแปลงฟูเรียร์นิยามใน (1) และ

                              (1)

โดยที่ภาพขนาด  จุดภาพ แทนด้วยฟังก์ชัน f(x,y) (x และคือตำแหน่งของจุดภาพในหลักและแถวตามลำดับ) ซึ่ง u=0,1,2,…,M-1 และ v=0,1,2,…,N-1 สำหรับการแปลงฟูเรียร์แบบผกผันนิยามใน (2) โดยที่ x=0,1,2,…,M-1 และ v=0,1,2,…,N-1

                                 (2)

การคอนโวลูชั่น (Convolution) ซึ่งเป็นกระบวนของการกรองภาพ (image filtering) กำหนดให้ภาพ A และ B มีขนาด   แทนด้วยฟังก์ชัน f(x,y) และ h(x,y) ตามลำดับ การคอนโวลูชั่นจะนิยามด้วย f(x,y) *h(x,y)  ดังสมการที่ (3)

                                                  (3)

การประยุกต์ใช้การแปลงฟูเรียร์ในงานวิจัยนี้จะใช้การคอนโวลูชั่นระหว่างภาพต้นฉบับกับแผ่นภาพ (Template) เพื่อหาค่าความสัมพันธ์ด้วยค่าสหสัมพันธ์ (Correlation) วิธีการนี้เรียกว่าฟูเรียร์คอนโวลูชั่น (Fourier Covolution) กำหนดให้กำหนดให้ภาพ  เป็นภาพต้นฉบับ และ  เป็นแผ่นภาพ ซึ่งมีขนาด  แทนด้วยฟังก์ชัน f(x,y) และ h(x,y) ตามลำดับ ฟูเรียร์คอนโวลูชั่นนิยามโดยสมการที่ (4)

                                               real [C(x,y)] = iFFT( FFT( f(x,y) )  FFT( h(x,y) ) )     (4)

โดยที่  และ  เป็นการแปลงฟูเรียร์ และการแปลงฟูเรียร์แบบผกผันตามลำดับ เนื่องจากผลของการแปลงฟูเรียร์จะมีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน (Complex Number) ดังนั้นค่าสหสัมพันธ์จะคือค่าแมนิจูด (Magnitude) ซึ่งเป็นจำนวนจริง

 

 

ภาพที่ 1  ตัวอย่างการค้นหาตัวอักษรด้วยฟูเรียร์คอนโวลูชั่น (ก) ภาพต้นฉบับ (ข) เป็นแผ่นภาพของตัวอักษร a (ค) คือผลลัพธ์ของฟูเรียร์คอนโวลูชั่น (ง) ตำแหน่งของตัวอักษร a

 

ภาพที่ 1 แสดงตัวอย่างการระบุตำแหน่งตัวอักษรด้วยฟูเรียร์คอนโวลูชั่น โดยที่ภาพที่ 1(ก) เป็นภาพต้นฉบับ และ ภาพที่ 1(ข) เป็นแผ่นภาพของตัวอักษร a ภาพที่ 1(ค) คือผลลัพธ์ของฟูเรียร์คอนโวลูชั่น จะเห็นได้ว่าตำแหน่งที่เป็นตัวอักษร a จะมีค่าสหสัมพันธ์สูงที่สุด (มีความสว่างมากที่สุด) โดยมีค่าเท่ากับ 154 ซึ่งในภาพที่ 1(ง) ใช้ค่าขีดจำกัดเท่ากับ 140 แบ่งส่วนภาพที่ 1(ค) จะทำให้สามารถค้นหาตำแหน่งของตัวอักษร a ได้ ซึ่งฟูเรียร์คอนโวลูชั่นจะเป็นวิธีการพื้นฐานที่จะนำไปประยุกต์ใช้ในงานวิจัยนี้

 

โดย อาจารย์ ดร. ชัยนันท์ สมพงษ์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภัฏสกลนคร

*หมายเหตุ บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ [2]

 

อ้างอิง

[1] R. Gonzalez, R. Woods, Digital Image Processing 3rd Edition, Prentice Hall, New Jersey, 2009.

[2] Sompong, C.,  Muangchan, S., Mingmuang, C., Oopkeaw, A. (2017). Application development for multiple-choice test check by image processing. SNRU Journal of Science and Technology, 9(3), 661-671, 2017.